连续概率分布 Kelly 公式：从赌博到杠杆 ETF
By Zou Yilin
Kelly 公式原理
若 Kamala 总统选举的胜率为 40%，投注 1 美元获胜赢 2 美元，问最优投注比例是多少？结果直接由 Kelly 公式给出
\[ f = \frac{bp - q}{b} = \frac{2 \times 0.4 - 0.6}{2} = 0.1 \]即最优投注比例为 10%。其中，\(b = 2\) 为赔率，\(p = 0.4\) 为胜率，\(q = 1 - p = 0.6\) 为败率。
事实上，多次赌博的结果为单次赌博结果的连乘。因此，单次赌博的正确最优化目标为 \(\log(\text{结果})\) 的期望最大化。在此基础上，Kelly 公式可以通过简单计算得到。
设投注比例为 \(f\)，则赌博结果为 \(1 + bf\) 或 \(1 - f\)，结果对数的期望为
\[ g(f) = p \log(1 + bf) + q \log(1 - f) \]对 \(f\) 求偏导
\[ \frac{\partial}{\partial f} g(f) = \frac{bp}{1 + bf} - \frac{q}{1 - f} = 0 \]即
\[ f = \frac{bp - q}{b} \]连续概率分布推广
上述用于赌博的 Kelly 经典公式只有胜利或失败两种结果。利用相同计算方法，可以将其推广到连续概率分布的情况。
设杠杆 ETF 追踪的指数日回报率为 \(r\)，其概率密度函数为 \(p(r)\)。杠杆 ETF 对其每日 \(f\) 倍做多。则其日回报率为 \(f r\)。由于同样为连续多次赌博，其最优投注比例 \(f\) 仍然由 \(\log(\text{结果})\) 的期望最大化得到。在此情况下，结果对数的期望为
\[ g(f) = \int_{-1}^\infty p(r) \log(1 + f r)\, \mathrm{d}r \]同样对 \(f\) 求偏导
\[ \frac{\partial}{\partial f} g(f)= \int_{-1}^\infty p(r) \frac{r}{1 + f r}\, \mathrm{d}r = 0 \]对于日回报率，有 \( r \ll 1 \) 。对分式做小量近似
\[ \frac{r}{1 + f r} \approx r - f r^2 \]因此，方程可近似为
\[ \int_{-1}^\infty p(r) (r - f r^2)\, \mathrm{d}r = 0 \]即
\[ f = \frac{\int_{-1}^\infty p(r) r\, \mathrm{d}r}{\int_{-1}^\infty p(r) r^2\, \mathrm{d}r} = \frac{\mathbb{E}[r]}{\mathbb{E}[r^2]} = \frac{\mu}{\mu^2 + \sigma^2} \]其中，\( \mu \) 为期望日回报率，\( \sigma \) 为日回报率标准差（波动率）。
结果验证
以不同时间窗口按上述公式计算 Nasdaq 100 指数的最优每日杠杆倍数，结果在 \(2.5\sim 3.5\) 之间。与 TQQQ 的历史表现远好于 QLD 和 QQQ 相符合。